本帖最后由 落日霞影 于 2011-10-18 22:02 编辑
T先生从整数集{2,3,4......99}中取出了两个数（可以是相同的两个数）
他把这两个数的和告诉了s先生,又把这两个数的乘积告诉了p先生,然后s先生和p先生进行了如下的对话:
s : 我不知道这两个数是多少,但我知道你也不知道
P : 那我就知道这两个数是多少了
s : 那我也知道这两个数是多少了
根据上述对话求出这两个数是多少
这道题有唯一解，可能用到哥德巴赫猜想——每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和
公布答案，虽然有了答案，但估计还是有一大批人看不懂。。。
以下是leer20070420同学找到的答案，虽然她自己也没看懂。。。
答案应该是4和13。原因如下：
首先，由s先生的第一句话可以知道：（1）s先生的和不能是4，5，197，198。否则s先生就可以知道这两个数是多少。（2）s先生的和一定<=54。否则，若>=55，则它可以写成p+a，其中53<=p<=97为素数，2<=a<=99。假如这两个数恰好是p和a，则p先生就可以知道这两个数是多少。（3）s先生的和不能写成两个素数的和。否则，p先生也有可能知道这两个数是多少。由歌德巴赫猜想，<=54的偶数都不能做为s先生的和，并且对于奇素数p，3<=p<=51，p+2也不能做为s先生的和。因此s先生的和只能在{11,17,23,27,29,35,37,41,47,51}中。反过来，如果s先生的和在这个集合（记为A）中，则s先生可以说第一句话。
其次，p先生开始不知道这两个数是多少，这是因为p先生的积分解成{2，。。。，99}（记为N）中两个数的积的方式不唯一。但p先生听了s先生的话后就知道了，这是因为p先生也进行了我们上面的分析。于是，p先生的积分解成N中两个数的积，使得这两个数的和在A中的方式就唯一了。但是对这样的积的可能性的分析非常复杂，我们宁愿先对s先生的第二句话进行分析。
s先生听了p先生的话后，也知道这两个数是多少了，这是因为他也进行了我们上面的分析，并看到自己的和能且只能用一种方式写成N中这样两个数的和：这两个数的积分解成N中两个数的积的方式不唯一，但如果要求分解成的两个数的和在A中，分解方式就唯一了。满足这个条件的s先生的和（在A中）可能是多少呢？比如51，51=4+47，4*47在N中分解成两数积的方式不唯一，但如果要求分解成的两数的和在A中，分解方式就唯一了；但51还=8+43，也满足这个条件，这与我们上面说的s先生的和“能且只能用一种。。。”矛盾，所以s先生的和不能是51。用同样的办法，可以得出，s先生的和不能是A中除17以外其他的数：47=4+43=6+41，41=4+37=10+31，37=6+31=8+29，29=6+23=10+19，27=4+23=8+19，23=4+19=10+13，11=4+7=8+3。但17只能用一种方法写成N中这样两个数的和，使得“。。。不唯一，。。。就唯一了”，就是17=4+13。因此，这两个数只可能是4和13。
最后，因为上面的分析每一步都是充要条件，所以4和13的确满足要求。
leer20070420 发表于 2011-10-11 14:40  |
发表于 2011-10-11 09:38
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