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标题: [小游戏] 超好玩硬币游戏，你都会玩吗？ [打印本页]

作者: chinayard 时间: 2012-6-8 21:33 标题: 超好玩硬币游戏，你都会玩吗？

出门在外，恰逢不巧，你和朋友被困住了，干点什么呢。来几局三国杀？是个不错的提议，但问题是你带牌了吗，没牌怎么打？会玩的孩子怎么不能玩！凑几个硬币，随随便便就能玩一整天。不得不说，硬币是世界上最好的游戏机，给我们几枚硬币，就能玩到天亮。不不不，硬币可不止抛正反面这么简单。好玩的硬币游戏，你们都会玩吗？哦，前提是你得懂点数学。

*

尼姆游戏

在所有二人游戏中，最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了（好吧，在所有二人数学游戏中）。据说它发源于中国，有时候孩子们用纸片玩，但通常人们出门可能很少带纸片，所以我们用硬币玩。

这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。

游戏规则很简单，游戏双方轮流取 1 枚或多枚硬币（只能在同一行），谁拿到最后一枚就算赢。留心的朋友玩几把就可以琢磨出，只要在自己的某一个回合里留下两行多于 1 枚且数量相同的硬币，就能确保获胜。一个优势策略是，先手的人一开始就拿掉最上面一行 2 枚硬币，这样的话，离胜利就不远了。

有趣的是，有人发现，当扩展到任意多行，每行有任意枚硬币时，利用二进制，可以把这个游戏玩得风生水起。哈佛大学的数学教授布顿在 1901 年首次发表了论文详述了这个问题，也正是他，正式将这个游戏命名为尼姆游戏。

把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。在布顿的论文中，如果玩家每一步操作后的棋局能保证自己获胜，那就是“安全的”，否则就是“不安全的”。每个不安全棋局都可以一步正确的操作变成安全的，而如果没有正确地操作，一个安全的棋局就会变成不安全的。

如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢？这就用到了前面提到的二进制。将每一行的硬币数都用二进制表示，按矩阵元素的排列方式对齐，这时候如果每一列的数（ 0 或 1 ）相加都为偶数（包括 0 ），那么这个棋局就是安全的，只要有一列元素相加不为偶数，那这个棋局就是不安全的。

回到我们上面说的那个流行版本上，可以看到在初始状态，它的二进制表示如下图

可以看到，第 2 列之和为奇数，所以这个本版的初始状态是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬币，第 1 行就变成了 1 ，从而留下了一个安全棋局。通过用其他方法试验，可以看到，拿掉第 1 行的 2 枚硬币是留下安全棋局的唯一操作。

把棋局转化成上面这个二进制表格，根据表格决定怎么操作就不会出错了。但是在玩的时候，恐怕对手没那么宽容，让你不断画表格，在脑子中计算，一不小心就出错。那么记住下面这条就很有用了：在两行里留下同样多的硬币，总能赢。在此之后，让每行硬币数量保持相等就可以了。

尼姆游戏深受数学家喜爱并被广泛研究，它因此产生了很多变体。1910 年美国数学家穆尔就提出了一个，它规则与尼姆游戏相同，只不过玩家可以从不超过指定数 k 的任意多行里拿掉硬币。有趣的是，它同样可以通过二进制来分析，只要把安全棋局定义为：二进制表里的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。

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作者: chinayard 时间: 2012-6-8 21:36

后选择一定赢的硬币游戏

对于粗心大意和无知的人来说，这个游戏就是一个十足的陷阱。让我们来看看这个它是怎么玩的。

抛三次硬币看最后哪一面朝上，结果无非只有这 8 种：
正正正正正反正反正反正正正反反反正反反反正反反反

这个游戏的规则是，对手有优先选择权。首先对手在这 8 种组合总选一种作为他的组合，然后你选一组作为自己的组合。双方选定后，随便选一个人来连续抛硬币，直到他的或你的组合出现为止，谁的组合先出现谁就算赢。

这个游戏看上去没有什么问题，不管哪种组合，它们出现的概率都是一样的。但如果谁真这么想，那他可就输定了。事实上，先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合，后选的人都可以选一个组合来针对他，是自己的获胜概率至少提高到 2／3 !

如果你不相信的话，就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是“正正正”的组合，这时候我们只要选择“反正正”，胜率就可以瞬间到达 7／8。这是为什么呢？

如果前三次就抛出了“正正正”的结果，那对手就获胜了，这种情况发生的概率为 1／8 。但除此之外，只要最开始的三次对手没有获胜，那么我可以说，他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜，就说明在他获胜之前一定出现了反面，那第一次出现“正正正”的情况必然包含在如下的结果中：
……反正正正……

可以看到，当出现“反正正”的时候，他已经没有办法再玩下去了，因为那正是我们选择的组合，到这里我们已经获胜了。对于其他组合，这里不再专门讨论了，下面附出一张表格，给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率，可以看到，后选择的人获胜的最低概率也是 2／3 。

你是否觉得这个结果有些出乎意料？需要说明的是，在涉及到概率时，我们的直觉很多时候都是错误的。

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作者: chinayard 时间: 2012-6-8 21:37

硬币正反不一样

通常我们所说的硬币，都是理想硬币。但由于设计的原因，硬币正反面的花纹并不一样，这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有所偏差，想要知道这个偏差具体有多大，难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，可以忽略不计。

尽管如此，但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币，我们能不能找到一个方法，让真实的硬币达到理想硬币的效果呢？

答案是能。我们可以用下面这种玩法“化腐朽为神奇”：连续掷两次硬币，如果两次结果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再连续掷两次硬币，直到结果不同为止（一次反面朝上，一次正面朝上）。这时， [正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形， [反,正] 的结果就可以对应理想硬币为反的情形（反过来也可以）。

这是为什么呢？假设硬币掷出正面的概率是 p ，那掷出 [正,反] 的概率为 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率为（1 - p）p。二者相等，所以采取这种方法，即便是一枚非理想硬币，游戏结果也会变成完全公平的。

参考资料
《明知其输而博赢的概率分析》
《科学美国人趣味数学集锦之二》

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作者: gswl 时间: 2012-6-8 23:15

好吧，等我脑子清醒点后再来看看吧

作者: chinayard 时间: 2012-6-8 23:45

回复 4# gswl
我表示我本来很清醒的看完就懵了正在努力学习看懂中...

作者: WMJ 时间: 2012-6-9 00:31

表示我的智商玩不来这类游戏，看完就混沌了~

作者: yy343 时间: 2012-6-9 01:09

守了欧洲杯2场球刚起床的我，看完楼主这一篇文章，很想倒头回去再睡一觉

作者: 楊樂多 时间: 2012-6-9 03:25

看了一遍沒看懂...
再一次覺得當初沒念數學系真的是太對了

作者: 2626xying 时间: 2012-6-9 04:01

楼主加深了我对数学的怨念

作者: 瓶子 时间: 2012-6-9 04:47

难度有点高啊，打发无聊时间到不错~

作者: 罂粟 时间: 2012-6-9 07:12

纳尼？突然觉得我当初学文就是正确的选择这不就是学理那帮学的什么概率什么东东的吗

作者: 245399530 时间: 2012-6-9 07:47

数学不好滴人表示亚历山大

作者: lily0526hp 时间: 2012-6-9 07:56

i am weak at math

作者: gh10425 时间: 2012-6-9 09:35

越看越混乱，我果然不是天才

作者: 欣泽 时间: 2012-6-9 09:53

看着就晕了……得空的时候研究下

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